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도구변수 추정

내생성

  • 지금까지는 \(\mathbf{x}_{it}\)가 \(\varepsilon_{it}\)에 대하여 강외생적(\(\mathbf{x}_{i1}, \ldots, \mathbf{x}_{iT}\) 전체가 \(\varepsilon_{i1}, \ldots, \varepsilon_{iT}\) 전체와 비상관)이라고 가정하였으며, 논의의 초점은 \(\mathbf{x}_{it}\)와 \(\mu_i\)가 상관이 있느냐(고정효과) 없느냐(임의효과)에 있었음
  • 이제는 \(\mathbf{x}_{it}\)가 \(\varepsilon_{it}\)와 임의로 상관될 수 있다고 가정하며, 도구변수가 필요함
  • 도구변수 \(\mathbf{z}_{it}\)가 \(\varepsilon_{it}\)에 대하여 강외생적이라고 가정하는 추정법을 살펴봄. 앞의 Hausman and Taylor에서는 \(\mathbf{z}\) 기호가 TI 설명변수를 나타내는 부호였으나, 이하에서는 도구변수를 나타내는 부호.

강외생적 도구변수를 이용한 추정

  • 앞에서 \(\mathbf{x}_{it}\)가 강외생적일 때 POLS, RE, FE, BE 추정이 있었음
  • 이에 대응하여 P2SLS, RE2SLS (G2SLS와 EC2SLS가 있음), FE2SLS, FD2SLS, BE2SLS가 있음

통합 2SLS (P2SLS)

  • \(\mathbf{z}_{it}\)가 \(\mu_i + \varepsilon_{it}\)에 대하여 외생적이면 P2SLS 사용 가능
  • 도구변수가 ‘강’외생적일 필요는 없으며 ‘해당 시점’에서 외생적이기만 하면 됨
  • ivregress 2sls y x1 (x2 = z1 z2), vce(cl id)

임의효과 2SLS (RE2SLS)

  • 모형을 \(y_{it} - \hat\theta \bar{y}_i = (\mathbf{x}_{it} - \hat\theta \bar{\mathbf{x}}_i) \beta + (u_{it} - \hat\theta \bar{u}_i)\)로 변환(RE 변환)한 후 2SLS를 하는 방법
  • 두 가지 도구변수가 있음
    • Baltagi (1981)의 EC2SLS는 \((\mathbf{z}_{it}, \bar{\mathbf{z}}_i)\)를 도구변수로 사용
    • Balestra and Varadharajan-Krishnakumar (1987)의 G2SLS는 \(\mathbf{z}_{it} - \hat\theta \bar{\mathbf{z}}_i\)를 도구변수로 사용
  • 특정 가정하에서는 G2SLS와 EC2SLS가 똑같이 효율적이나, 만약 축약형 식에 고정효과가 있으면 EC2SLS가 더 효율적
  • \(\mathbf{z}_{it}\)가 \(\mu_i + \varepsilon_{it}\)에 대하여 강외생적이어야만 consistent한 추정량을 제공
  • xtivreg y x1 (x2 = z1 z2), re [ec2sls]

고정효과 2SLS (FE2SLS)

  • 모형을 WG 변환한 후 \(\mathbf{z}_{it}-\bar{\mathbf{z}}_i\)를 도구변수로 사용
  • \(\mathbf{z}_{it}\)가 \(\varepsilon_{it}\)에 대하여 강외생적이어야 함
  • xtivreg y x1 (x2 = z1 z2), fe

FD2SLS

  • FD 추정에 대응하는 방법으로서, 모형을 FD 변환한 후 \(\Delta \mathbf{z}_{it}\)를 도구변수로 사용
  • xtivreg y x1 (x2 = z1 z2), fd

BE2SLS

  • BE 추정에 대응하는 방법으로, 모형을 개별 평균 표현식으로 변환한 후 \(\bar{\mathbf{z}}_{it}\)를 도구변수로 사용
  • xtivreg y x1 (x2 = z1 z2), be

예

crime4.dta 데이터를 이용하여 Baltagi (2006)의 545쪽 Table I 결과들을 복제하라. west, central, urban을 제외한 모든 변수에 로그를 취하며, BE 추정을 제외하고는 시간더미(i.year)들이 포함되어 있음에 유의하라. 내생적 설명변수는 \(\mathrm{P}_{\mathrm{A}}\)와 Police에 해당하는 lprbarr과 lpolpc이며, 추가적 도구변수는 lmix와 ltaxpc이다. Stata 명령어들과 실행 결과 로그를 제시하라.

코드 보기 
use crime4, clear
local X "lprbconv lprbpris lavgsen ldensity lwcon-lwloc lpctymle"
local Y "lprbarr lpolpc"
local TV "`Y' `X'"
local TI "lpctmin west central urban"
xtreg lcrmrte `TV' `TI', be
xtreg lcrmrte `TV' i.year, fe
local Z "lmix ltaxpc"
xtivreg lcrmrte `X' `TI' (`Y'=`Z') i.year, re ec2sls
xtivreg lcrmrte `X' (`Y'=`Z') i.year, fe
xtivreg lcrmrte `X' `TI' (`Y'=`Z'), be