선형 동적패널 모형

지금까지 우변의 설명변수 \(\mathbf{x}_{it}\) 혹은 도구변수 \(\mathbf{z}_{it}\)가 오차항 중 고유오차 부분인 \(\varepsilon_{it}\)에 대해서는 강외생적(모든 시간 조합에서 비상관)인 경우를 고려
관심의 초점은 설명변수 혹은 도구변수가 \(\mu_i\)와 상관이 있는지 여부
이 강외생성 가정은 우변에 \(y_{it-1}\)이 있는 모형(동적 모형)에서는 성립하지 않음 (\(y_{it-1}\)과 \(\varepsilon_{it-1}\)은 당연히 상관되므로)

선형 동적 패널 모형

DPD 모형은 우변에 \(y_{it-1}\)이 포함된 선형 모형
\(y_{it} = \alpha + \mathbf{x}_{it} \beta + \rho y_{it-1} + \mu_i + \varepsilon_{it}\)
\(\mu_i\)는 \(y_{it}\)의 구성부분이므로 \(y_{it-1}\)의 구성부분이기도 하고, 따라서 설명변수와 \(\mu_i\)는 반드시 상관됨
또한, \(\varepsilon_{it-1}\)은 \(y_{it-1}\)의 구성부분이므로 \(y_{it-1}\)은 \(\varepsilon_{it}\)에 대하여 강외생적일 수 없음
앞에서 살펴본 모든 추정방법들(xtreg, xtivreg)은 inconsistent.

지금까지는 (POLS와 P2SLS의 경우를 제외하면) 설명변수 혹은 도구변수가 고유오차(\(\varepsilon_{it}\))에 대하여 ‘강외생적’(strictly exogenous)인 경우를 살펴보았음
이는 관측된 모든 시기의 설명변수(혹은 도구변수)가 모든 시기의 고유오차(\(\varepsilon_{i1}, \ldots, \varepsilon_{iT}\))와 무관함을 의미함
이제 외생성의 개념을 다음과 같이 보다 세분화
- 강외생적(strictly exogenous) 또는 그냥 외생적: \(E(\varepsilon_{it} | x_{i1}, \ldots, x_{iT})=0\) \(\forall t\)
- 약외생적(weakly exogenous) 혹은 선결적(predetermined): \(E(\varepsilon_{it} | x_{i1}, \ldots, x_{it})=0\) \(\forall t\)
  - 참고로, \(y_{it-1}\)은 선결적
- 내생적(endogenous): \(E(\varepsilon_{it} | x_{i1}, \ldots, x_{it-1}) = 0\) \(\forall t\)
위 3가지 모드에 대응하는 인과성의 방향을 그림으로 표시하면 다음과 같음

Exogenous Predetermined Endogenous

DPD 모형에서 모수 식별을 위한 핵심 가정은 \(\varepsilon_{it}\)에 시계열상관이 없어서 현재까지의 정보와 \(\mu_i\)가 주어질 때 \(\varepsilon_{it}\)를 예측할 수 없어야 한다는 것
- 시계열 모형의 경우와 유사
DPD 모형에서는 ‘현재 시점까지 주어진 외생적 정보와 \(\mu_i\)를 이용하여 예측할 수 없는 것’이 고유오차
반면, 앞의 정태적 모형에서는 \(\mathbf{x}_{i1}, \ldots, \mathbf{x}_{iT}\) (또는 \(\mathbf{z}_{i1}, \ldots, \mathbf{z}_{iT}\))가 주어질 때 예측할 수 없는 것이 고유오차