임의효과 동적패널 모형
- 고정효과 모형에서는 \(\mu_i\)에 대하여 아무런 가정도 하지 않았으며, 추정 시에는 차분의 방법으로 \(\mu_i\)를 소거하거나, 아니면 차분된 도구변수
(stationarity 가정하에 \(\mu_i\)와 무관) 를 사용하였음 - 임의효과 모형에서는 \(\mu_i\)에 대하여 특정한 가정을 함
- 구체적으로, \(\mu_i, \varepsilon_{i1}, \ldots, \varepsilon_{iT}\)가 서로간에 독립이라는 가정 이외에, \((y_{i0}, \mathbf{x}_{i1}, \ldots, \mathbf{x}_{iT})\)와 \(\mu_i\)가 서로 독립이고 \((\mu_i, \varepsilon_{i1}, \ldots, \varepsilon_{iT})\)가 결합정규분포를 가진다고 가정(등분산 포함)
- 만약 \((y_{i0}, \mathbf{x}_{i1}, \ldots, \mathbf{x}_{iT})\)와 \(\mu_i\)가 서로 독립이라는 가정을 할 수 없으면 \(\mu_i = \sum_{s=1}^T \mathbf{x}_{is} \theta_s + \gamma y_{i0} + a_i\)라고 설정하고 나서 \(a_i\)가 임의효과라 가정(Correlated Random Effects, CRE)
- 이 CRE 가정을 적용하면 모형은 \(y_{it} = \alpha + \rho y_{it-1} + \mathbf{x}_{it}\beta + \sum_{s=1}^T \mathbf{x}_{is} \theta_s + \gamma y_{i0} + a_i + \varepsilon_{it}\). 단, \(a_i\)는 RE
- 통상적으로 \(a_i, \varepsilon_{i1}, \ldots, \varepsilon_{iT}\)가 다변량 정규분포를 갖는 것으로 가정하고 MLE를 함
- 이러한 동태적 임의효과 모형에서는 \(y_{it-1}\)이 강외생적이지 않지만 마치 강외생적인 것처럼 (잘못) 간주하고 MLE를 해도 괜찮다는 점이 (복잡한) 수학으로 증명되어 있음
- 이 CRE 모형은 우변에 \(\mathbf{x}_{i1}, \ldots, \mathbf{x}_{iT}\)와 \(y_{i0}\)을 추가로 통제하는 것과 같음
- Stata로 이를 구현하려면 이들 변수를 생성하여야 함
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\(y_{i0}\) 변수는 다음과 같이 한 줄로 생성할 수 있음
year==0에서 0은 최초 연도로 바꿀 것
growth-ex.dta 데이터를 살펴보고(data browser) year의 최솟값에 해당하는 기간의 lny 값을 반복해서 사용하도록 lny_0 값을 생성하고 제대로 생성되었는지 data browser를 열어서 눈으로 확인하라. 특히 id가 1이고 year가 3인 경우 lny_0 값은 \(\ln y_{i0}\) 값과 동일한가?
코드 보기
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다음으로 Stata에서 예를 들어 \(X_{i2}\) 변수를 생성하려면 다음과 같이 한다.
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다른 시점의 \(X_{is}\) 변수(모든 \(t\)에 반복 사용)도 위와 유사한 방법으로 생성할 수 있음
- 경우에 따라, \(\mathbf{x}_{i1}, \ldots, \mathbf{x}_{iT}\) 대신에 \(\bar{\mathbf{x}}_i\)를 사용하기도 함
- 이후 필요하면 \(a_i\)에 특정한 분포를 가정하고서 임의효과 분석을 진행할 수 있음
- 이 방법은 비선형모형에서 매우 유용함
growth-ex.dta 데이터를 사용하여 CRE 접근법을 이용하여 lny를 x1과 래그 lny에 대하여 회귀하는 RE 동적패널 모형을 추정하라. lny0과 x1_1부터 x1_10까지 변수를 생성한 다음 xtreg, mle 명령을 사용하여 추정하면 된다. lny0과 x1_* 변수들을 우변에 포함시키지 않으면 결과는 어떻게 달라지는가?